Calcolatore dello Spazio Nullo
Categoria: Algebra LineareCalcola lo spazio nullo (nucleo) di una matrice. Questo calcolatore trova i vettori base che generano lo spazio nullo e esegue calcoli correlati, inclusi rango, nullità e riduzione delle righe.
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Cos'è il Calcolatore dello Spazio Nullo?
Il Calcolatore dello Spazio Nullo è uno strumento interattivo online che ti aiuta a trovare lo spazio nullo di una matrice. Lo spazio nullo, noto anche come nucleo, è l'insieme di tutte le soluzioni \( \mathbf{x} \) all'equazione \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \), dove \( A \) è una matrice e \( \mathbf{0} \) è il vettore nullo.
Formula:
\[ \text{Ker}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \} \]
Cosa Può Fare Questo Calcolatore
- Trova una base per lo spazio nullo (nucleo) di una matrice
- Calcola il rango e la nullità della matrice
- Mostra sia la Forma Echelon delle Righe (REF) che la Forma Echelon Ridotta delle Righe (RREF)
- Mostra calcoli passo dopo passo (opzionale)
- Accetta input di matrici personalizzate o ti consente di utilizzare una matrice di esempio
Come Usare il Calcolatore dello Spazio Nullo
- Imposta il numero di righe e colonne della tua matrice.
- Inserisci i valori nei campi della matrice.
- Opzionale: Usa la matrice di esempio per una demo rapida.
- Scegli le tue preferenze di visualizzazione: decimali o frazioni, quanti decimali, e se mostrare i passaggi.
- Clicca sul pulsante Calcola.
- Visualizza i tuoi risultati, inclusi i vettori base, rango, nullità, REF, RREF e altro.
Perché lo Spazio Nullo è Importante
Comprendere lo spazio nullo di una matrice è cruciale per lavorare con equazioni lineari. Ti aiuta a:
- Risolvere sistemi omogenei di equazioni lineari
- Comprendere se una trasformazione matrice è iniettiva
- Trovare la soluzione generale per equazioni matriciali
- Analizzare l'indipendenza lineare e gli spazi vettoriali
Applicazioni nell'Algebra Lineare
Lo spazio nullo non è solo un concetto accademico — è utilizzato in molti calcoli avanzati e campi:
- Sistemi lineari: spesso utilizzato con il Calcolatore di Eliminazione di Gauss-Jordan
- Trasformazioni: correlato a strumenti come il Calcolatore di Diagonalizzazione della Matrice e il Calcolatore di Fattorizzazione QR
- Operazioni matriciali: completa strumenti come il Calcolatore dell'Inversa della Matrice, Calcolatore di Moltiplicazione di Matrici e Calcolatore di Sottrazione di Matrici
- Elaborazione di segnali e immagini, sistemi di controllo, analisi dei dati
Concetti Chiave e Relazioni
- Rango: Numero di colonne pivot nella matrice (righe non nulle in RREF)
- Nullità: Dimensione dello spazio nullo (numero di variabili libere)
- Teorema Rango-Nullità:
\[ \text{Rank}(A) + \text{Nullity}(A) = \text{Numero di colonne in } A \]
Domande Frequenti (FAQ)
Cos'è una base per lo spazio nullo?
Una base è un insieme di vettori che generano lo spazio nullo. Ogni soluzione di \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) può essere scritta come una combinazione lineare di questi vettori.
E se lo spazio nullo è banale?
Se l'unica soluzione a \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) è il vettore nullo, si dice che lo spazio nullo è banale. Questo significa che la matrice è di rango completo.
È correlato alla ricerca dell'inversa di una matrice?
Sì. Se una matrice quadrata ha uno spazio nullo banale, significa che è invertibile. Puoi utilizzare il Calcolatore dell'Inversa della Matrice per esplorare ulteriormente questo concetto.
Cosa sono le variabili pivot e libere?
Le variabili pivot corrispondono a colonne con uno principale in RREF. Le variabili libere sono quelle che possono assumere qualsiasi valore — definiscono le direzioni dello spazio nullo.
Posso usare questo per matrici non quadrate?
Assolutamente. Questo strumento funziona per qualsiasi matrice m × n dove m e n variano da 1 a 10.
Esplora Altri Strumenti Matriciali
Questo calcolatore fa parte di un insieme più ampio di strumenti di algebra lineare. Prova questi successivamente:
- Calcolatore di Decomposizione LU — Scomponi una matrice utilizzando la fattorizzazione LU
- Calcolatore Esponenziale di Matrici — Calcola l'esponenziale di una matrice
- Calcolatore di Somma di Vettori — Aggiungi vettori rapidamente e con precisione
- Calcolatore di Trasposizione di Matrici — Capovolgi righe e colonne della tua matrice
- Calcolatore di Pseudoinversa — Trova la pseudoinversa di Moore-Penrose
Riepilogo
Il Calcolatore dello Spazio Nullo rende più facile comprendere ed esplorare le proprietà fondamentali delle matrici. Che tu stia studiando per un esame o risolvendo problemi reali in ingegneria o scienza, questo strumento aiuta a scomporre i passaggi e visualizzare chiaramente i tuoi risultati. Provalo insieme ad altri risolutori di matrici come il Calcolatore di Divisione di Matrici o il Calcolatore di Fattorizzazione QR per ampliare il tuo toolkit.
Algebra Lineare Calcolatrici:
- Calcolatore per Diagonalizzare Matrici
- Calcolatore dell'Inverso di una Matrice
- Calcolatore di Eliminazione di Gauss-Jordan
- Calcolatore Pseudoinverso
- Calcolatore di Somma dei Vettori
- Calcolatore di Fattorizzazione QR
- Calcolatore di Decomposizione LU
- Calcolatore di Determinante
- Calcolatore del Prodotto Vettoriale
- Calcolatore di Trasposizione di Matrici
- Calcolatore di Vettore Unitario
- Calcolatore di Proiezione Vettoriale
- Calcolatore del Prodotto Scalare
- Calcolatrice per l'Addizione di Matrici
- Calcolatrice per la Sottrazione di Matrici
- Calcolatore di Moltiplicazione di Matrici
- Calcolatore di Sottrazione Vettoriale
- Calcolatrice per la Divisione di Matrici
- Calcolatore di Moltiplicazione Scalare di Matrici
- Calcolatore di Proiezione Scalare
- Calcolatore Magnitudine Vettoriale
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- Calcolatore del rango della matrice