Calcolatore della Trasformata di Laplace

Categoria: Calcolo

- April 04, 2025

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Calcola le trasformate di Laplace e le trasformate inverse di funzioni ed espressioni comuni. Inserisci la tua funzione in termini di t (dominio del tempo) o s (dominio della frequenza).

Tipo di Trasformata

Trasformata di Laplace (tempo → frequenza)

Trasformata Inversa di Laplace (frequenza → tempo)

Input Funzione

Inserisci la funzione f(t):

Valore della variabile (opzionale):

t =

Posizioni Decimali:

Trasformate Comuni

Coppie Comuni di Trasformate di Laplace

Dominio del Tempo f(t)	Dominio della Frequenza F(s)	Condizione

Informazioni sulle Trasformate di Laplace

La trasformata di Laplace è una trasformata integrale che converte una funzione di una variabile reale t (spesso tempo) in una funzione di una variabile complessa s (frequenza). Trasforma le equazioni differenziali in equazioni algebriche, rendendole più facili da risolvere.

Definizione

La trasformata di Laplace di una funzione f(t) è definita come:

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀^∞ e^-st f(t) dt

La trasformata inversa di Laplace è definita come:

f(t) = ℒ^-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫_γ-i∞^γ+i∞ e^st F(s) ds

Proprietà Chiave

Linearità: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
Differenziazione: ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
Integrazione: ℒ{∫₀^t f(τ)dτ} = F(s)/s
Traslazione: ℒ{e^atf(t)} = F(s-a)
Ritardo Temporale: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e^-asF(s)

Applicazioni

Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e parziali
Analisi di circuiti elettronici e sistemi di controllo
Elaborazione dei segnali e analisi dei sistemi
Vibrazioni meccaniche e trasferimento di calore

Calcolatore della Trasformata di Laplace: Semplifica Trasformazioni Complesse

Il Calcolatore della Trasformata di Laplace è uno strumento facile da usare progettato per aiutarti a calcolare la trasformata di Laplace di varie funzioni matematiche. Questo articolo spiega lo scopo delle trasformazioni di Laplace, come utilizzare il calcolatore in modo efficace e risponde a domande comuni.

Cos'è la Trasformata di Laplace?

La trasformata di Laplace è una potente tecnica matematica utilizzata per trasformare una funzione del tempo ( f(t) ) in una funzione di una variabile complessa ( s ), denotata come ( F(s) ). La trasformata di Laplace è ampiamente utilizzata in ingegneria, fisica e matematica per semplificare l'analisi dei sistemi, in particolare nelle equazioni differenziali e nella teoria del controllo.

La trasformata di Laplace di una funzione ( f(t) ) è data da:

[ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt ]

Trasformando una funzione nel dominio del tempo nel dominio della frequenza, la trasformata di Laplace rende più semplice la risoluzione di problemi complessi.

Caratteristiche del Calcolatore

Il calcolatore supporta un'ampia gamma di funzioni, tra cui:

Funzioni Potenza: ( t^n ) dove ( n ) è un intero positivo.
Funzioni Esponenziali: ( e^{at} ) dove ( a ) è un numero reale qualsiasi.
Funzioni Trigonometriche: ( \sin(at) ), ( \cos(at) ), e le loro combinazioni con esponenziali.
Funzioni Prodotto: ( t \cdot f(t) ), come ( t \cdot e^{at} ) o ( t \cdot \sin(at) ).
Funzioni Combinati: Funzioni come ( e^{at} \sin(bt) ) e ( e^{at} \cos(bt) ).

Come Utilizzare il Calcolatore

Istruzioni Passo-Passo

Inserisci la Funzione:
Nel campo di testo etichettato Inserisci la funzione ( f(t) ):, digita la funzione che desideri trasformare.
Esempi:
- ( t^2 )
- ( e^{2t} )
- ( \sin(3t) )
- ( t \cdot e^{2t} )
- ( e^{2t} \sin(5t) )
Clicca su Calcola:
Premi il pulsante Calcola per calcolare la trasformata di Laplace.
Il calcolatore:
- Identificherà il tipo di funzione.
- Applicherà la formula di trasformata di Laplace corrispondente.
- Mostrerà il risultato e una breve spiegazione.
Visualizza la Soluzione:
Il risultato include:
- La funzione originale ( f(t) ).
- La formula di trasformata di Laplace applicata.
- La trasformata semplificata ( F(s) ).
Pulisci i Campi:
Clicca sul pulsante Pulisci per ripristinare gli input e iniziare un nuovo calcolo.

Esempi di Funzioni Supportate

Il calcolatore supporta una varietà di funzioni. Ecco alcuni esempi:

1. Funzioni Potenza

Input: ( t^2 )
Output: ( \mathcal{L}{t^2} = \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} )

2. Funzioni Esponenziali

Input: ( e^{2t} )
Output: ( \mathcal{L}{e^{2t}} = \frac{1}{s - 2} )

3. Funzioni Trigonometriche

Input: ( \sin(3t) )
Output: ( \mathcal{L}{\sin(3t)} = \frac{3}{s^2 + 9} )

4. Funzioni Prodotto

Input: ( t \cdot e^{2t} )
Output: ( \mathcal{L}{t \cdot e^{2t}} = \frac{1}{(s - 2)^2} )

5. Funzioni Combinati

Input: ( e^{2t} \sin(5t) )
Output: ( \mathcal{L}{e^{2t} \sin(5t)} = \frac{5}{(s - 2)^2 + 25} )

Domande Frequenti (FAQ)

Qual è lo scopo della trasformata di Laplace?

La trasformata di Laplace semplifica l'analisi dei sistemi dinamici convertendo le equazioni differenziali in equazioni algebriche, che sono più facili da risolvere.

Quali tipi di funzioni supporta il calcolatore?

Il calcolatore supporta funzioni potenza, funzioni esponenziali, funzioni trigonometriche e combinazioni come ( t \cdot f(t) ) o ( e^{at} \sin(bt) ).

Il calcolatore mostra i passaggi intermedi?

Sì! Il calcolatore fornisce una breve spiegazione della formula utilizzata per calcolare la trasformata di Laplace.

Posso inserire variabili o lettere personalizzate nella funzione?

No. Il calcolatore accetta solo funzioni con numeri e la variabile ( t ). Usa numeri per definire i coefficienti.

Cosa succede se inserisco una funzione non supportata?

Il calcolatore mostrerà un messaggio di errore con suggerimenti per rivedere l'elenco delle funzioni supportate.

Vantaggi del Calcolatore

Risparmia Tempo: Calcola rapidamente le trasformate di Laplace senza calcoli manuali.
Supporta l'Apprendimento: Fornisce spiegazioni per aiutarti a comprendere il processo di trasformazione.
Ampia Funzionalità: Copre la maggior parte delle funzioni comuni utilizzate in ingegneria e matematica.

Questo Calcolatore della Trasformata di Laplace è un ottimo strumento per studenti, ingegneri e professionisti che lavorano con sistemi ed equazioni differenziali. Provalo per vedere come può semplificare il tuo lavoro!