Calcolatore della Trasformata di Laplace

Categoria: Calcolo

- April 07, 2025

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Calcola le trasformate di Laplace e le trasformate inverse di funzioni ed espressioni comuni. Inserisci la tua funzione in termini di t (dominio del tempo) o s (dominio della frequenza).

Tipo di Trasformata

Trasformata di Laplace (tempo → frequenza)

Trasformata Inversa di Laplace (frequenza → tempo)

Input Funzione

Inserisci la funzione f(t):

Valore della variabile (opzionale):

t =

Posizioni Decimali:

Trasformate Comuni

Coppie Comuni di Trasformate di Laplace

Dominio del Tempo f(t)	Dominio della Frequenza F(s)	Condizione

Informazioni sulle Trasformate di Laplace

La trasformata di Laplace è una trasformata integrale che converte una funzione di una variabile reale t (spesso tempo) in una funzione di una variabile complessa s (frequenza). Trasforma le equazioni differenziali in equazioni algebriche, rendendole più facili da risolvere.

Definizione

La trasformata di Laplace di una funzione f(t) è definita come:

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀^∞ e^-st f(t) dt

La trasformata inversa di Laplace è definita come:

f(t) = ℒ^-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫_γ-i∞^γ+i∞ e^st F(s) ds

Proprietà Chiave

Linearità: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
Differenziazione: ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
Integrazione: ℒ{∫₀^t f(τ)dτ} = F(s)/s
Traslazione: ℒ{e^atf(t)} = F(s-a)
Ritardo Temporale: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e^-asF(s)

Applicazioni

Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e parziali
Analisi di circuiti elettronici e sistemi di controllo
Elaborazione dei segnali e analisi dei sistemi
Vibrazioni meccaniche e trasferimento di calore

Che cos'è il Calcolatore della Trasformata di Laplace?

Il Calcolatore della Trasformata di Laplace è uno strumento pratico che aiuta gli utenti a risolvere le trasformate di Laplace e le trasformate inverse di Laplace. Queste trasformate vengono utilizzate per convertire funzioni tra il dominio del tempo e il dominio della frequenza—una tecnica essenziale in ingegneria, fisica e matematica avanzata.

Questo calcolatore è particolarmente utile per studenti, educatori e professionisti che lavorano con equazioni differenziali, analisi dei sistemi o elaborazione dei segnali.

Trasformata di Laplace:

\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)

Trasformata Inversa di Laplace:

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)

Come Usare il Calcolatore

Segui questi semplici passaggi per utilizzare efficacemente il Calcolatore della Trasformata di Laplace:

Seleziona il Tipo di Trasformata: Scegli tra "Trasformata di Laplace" (tempo → frequenza) o "Trasformata Inversa di Laplace" (frequenza → tempo).
Inserisci la Funzione: Immetti la tua espressione in termini di t o s a seconda della trasformata selezionata.
Opzionale: Specifica un valore numerico per la variabile per ottenere un risultato calcolato in quel punto.
Scegli la Precisione: Seleziona quanti decimali desideri nella risposta finale.
Clicca su "Calcola Trasformata": Lo strumento calcolerà il risultato e fornirà spiegazioni passo dopo passo.

Caratteristiche che lo Rendono Utile

Supporta sia le trasformate di Laplace che le trasformate inverse di Laplace
Include una tabella di trasformate comuni per un riferimento rapido
Mostra i passaggi della soluzione e le proprietà di trasformazione utilizzate
Offre valutazione numerica opzionale per i valori delle funzioni
Perfetto per risolvere rapidamente equazioni differenziali

Perché Usare Questo Strumento?

Il calcolo manuale delle trasformate di Laplace può richiedere tempo e essere soggetto a errori. Questo calcolatore semplifica il processo e fornisce risultati immediati. Che tu stia studiando circuiti elettrici, sistemi meccanici o modelli matematici, questo strumento accelera il tuo flusso di lavoro.

Il calcolatore completa altri strumenti matematici come il Calcolatore delle Derivate Parziali per la differenziazione multivariata, il Calcolatore delle Antiderivate per trovare antiderivate e il Calcolatore della Seconda Derivata per l'analisi della curvatura e della concavità. Fa parte di un kit di strumenti più ampio utile per gestire tutto, dalla ricerca dei limiti delle funzioni con un Calcolatore dei Limiti alla risoluzione di integrali online con un Calcolatore degli Integrali.

Utilizzi Comuni

Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie (ODE)
Analisi di sistemi di controllo e risposte dei circuiti
Valutazione del comportamento nel dominio del tempo da espressioni nel dominio della frequenza
Applicazioni in ingegneria e fisica che coinvolgono sistemi transitori o in regime stazionario

FAQ

Q: Che tipo di funzioni posso inserire?

Puoi inserire espressioni come t^2, sin(3t), e^(-2t) o 1/s^2. Il calcolatore identifica automaticamente forme comuni o offre indicazioni se non viene trovata una corrispondenza.

Q: Cosa succede se la mia funzione non viene riconosciuta?

Se il tuo input non corrisponde a trasformate note, il calcolatore ti informerà. Puoi fare riferimento alla tabella delle trasformate comuni inclusa nell'interfaccia o provare a modificare il tuo input.

Q: Posso usarlo per controllare i compiti o le assegnazioni?

Sì, è ideale per controllare i risultati delle trasformate di Laplace e comprendere i passaggi della soluzione, il che aiuta a rafforzare l'apprendimento.

Q: Funziona anche per le trasformate inverse?

Assolutamente. Basta cambiare il tipo di trasformata in "Trasformata Inversa di Laplace" e inserire una funzione del dominio della frequenza in termini di s.

Q: È utile insieme ad altri calcolatori?

Definitivamente. Usalo con strumenti come il Calcolatore delle Derivate Implicite, il Calcolatore del Teorema del Valore Medio o il Calcolatore di Jacobiano per coprire un'ampia gamma di problemi di calcolo e analisi dei sistemi.

Conclusione

Il Calcolatore della Trasformata di Laplace è uno strumento utile e facile da usare per chiunque abbia bisogno di risultati rapidi e accurati delle trasformate. Che tu stia cercando di risolvere equazioni di Laplace, analizzare il comportamento dei sistemi o semplificare equazioni differenziali, offre output e spiegazioni chiare. Usalo insieme ad altri calcolatori come il Calcolatore delle Derivate Direzionali o il Calcolatore del Valore Medio della Funzione per gestire anche più tipi di problemi matematici con fiducia.