Calcolatore di Divergenza

Calcolatore di Divergenza: Spiegazione e Guida all'Uso

Il Calcolatore di Divergenza è uno strumento interattivo progettato per calcolare la divergenza di un campo vettoriale tridimensionale. Fornisce un modo intuitivo per calcolare e visualizzare la divergenza di un campo vettoriale ( \mathbf{F}(x, y, z) ), offrendo sia la rappresentazione simbolica della divergenza che la sua valutazione in punti specifici. Inoltre, lo strumento genera una visualizzazione grafica del campo vettoriale per aiutare gli utenti a ottenere una comprensione più profonda del suo comportamento.

Cos'è la Divergenza?

La Divergenza è una quantità scalare che misura la velocità con cui un campo vettoriale si espande o converge in un dato punto. Matematicamente, la divergenza di un campo vettoriale ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) è data da:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Se la divergenza è positiva, il campo vettoriale si sta espandendo in quel punto.
• Se la divergenza è negativa, il campo vettoriale sta convergendo in quel punto.
• Se la divergenza è zero, il campo è detto solenoidale in quel punto.

Questo calcolatore fornisce sia la divergenza simbolica che un'opzione per valutarla numericamente in punti specifici.

Caratteristiche del Calcolatore di Divergenza

• Divergenza Simbolica: Calcola automaticamente le derivate parziali delle componenti del campo vettoriale e costruisce l'equazione della divergenza.
• Valutazione Puntuale: Valuta la divergenza numericamente in un punto specifico ( (x, y, z) ).
• Visualizzazione Grafica: Mostra una rappresentazione 3D del campo vettoriale utilizzando le capacità di tracciamento 3D interattivo di Plotly.
• Esempi a Discesa: Carica rapidamente esempi predefiniti di campi vettoriali per l'esplorazione.
• Gestione degli Errori: Garantisce che input non validi o incompleti siano gestiti in modo appropriato.

Come Usare il Calcolatore di Divergenza

Segui questi semplici passaggi per utilizzare il calcolatore in modo efficace:

1. Inserisci il Campo Vettoriale:
2. Inserisci le componenti ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) e ( R(x, y, z) ) del campo vettoriale nelle rispettive caselle di input.

3. Ad esempio:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Seleziona un Esempio:

5. Usa il menu a discesa per caricare esempi predefiniti di campi vettoriali.

6. Specifica un Punto di Valutazione (Opzionale):

7. Se desideri valutare la divergenza in un punto specifico, inserisci i valori di ( x ), ( y ) e ( z ) nei campi corrispondenti.

8. Clicca su "Calcola":

9. Il calcolatore:

   • Calcolerà la divergenza simbolica.
   • Valuterà la divergenza nel punto specificato (se fornito).
   • Mostrerà una suddivisione passo-passo del calcolo.
   • Genererà una visualizzazione 3D del campo vettoriale.

10. Cancella gli Input:

11. Usa il pulsante "Cancella" per ripristinare il calcolatore.

Esempio di Procedura

Esempio di Campo Vettoriale:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Inserisci le componenti:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Clicca su "Calcola." Il calcolatore:

6. Calcolerà le derivate parziali:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Le combinerà per trovare: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Se i punti di valutazione ( (x=1, y=1, z=0) ) sono forniti, il risultato sarà valutato come: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualizza il campo vettoriale 3D generato sul grafico.

FAQ

1. Quali formati di input sono supportati per le componenti del campo vettoriale?

Il calcolatore supporta funzioni in termini di ( x ), ( y ) e ( z ). Esempi includono: - Funzioni polinomiali: ( x^2, y^2 + z ) - Funzioni trigonometriche: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Funzioni esponenziali: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Cosa succede se non fornisco un punto di valutazione?

Se non viene specificato alcun punto di valutazione, il calcolatore mostrerà solo l'equazione della divergenza simbolica.

3. Posso usare questo calcolatore per campi vettoriali 2D?

Sì, basta lasciare vuota la componente ( R(x, y, z) ) o impostarla a zero.

4. Come viene generata la visualizzazione del campo vettoriale 3D?

Il calcolatore utilizza Plotly per creare un grafico interattivo del campo vettoriale 3D. Ogni freccia rappresenta la direzione e la magnitudine del campo in un dato punto.

5. Cosa succede se il mio input presenta un errore?

Il calcolatore controlla errori come componenti mancanti o espressioni non valide. Un messaggio di errore descrittivo ti guiderà a risolvere il problema.

Riepilogo

Il Calcolatore di Divergenza semplifica il processo di analisi dei campi vettoriali automatizzando il calcolo della divergenza e fornendo una chiara rappresentazione visiva. Che tu sia uno studente, un insegnante o un professionista, questo strumento è perfetto per ottenere informazioni sul comportamento dei campi vettoriali nello spazio 3D. Inizia a esplorare ora per sbloccare il pieno potenziale di questo potente calcolatore!