Calcolatore della regola di Simpson

Categoria: Calcolo
- September 23, 2025
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Calcola integrali definiti numericamente utilizzando la Regola di Simpson. Questo calcolatore approssima l'integrale di una funzione su un intervallo specificato adattando archi parabolici attraverso punti equidistanti.

Parametri di Integrazione

Usa x come variabile. Funzioni matematiche: sin, cos, tan, log, sqrt, ecc.
Deve essere un numero pari per la Regola di Simpson

Opzioni di Visualizzazione

Comprendere la Regola di Simpson

La Regola di Simpson è un metodo di approssimazione numerica per integrali definiti. Essa approssima la funzione utilizzando polinomi quadratici, che forniscono una migliore accuratezza rispetto a metodi più semplici come la Regola del Trapezio.

La Formula
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Dove:

  • h = (b - a) / n è la larghezza di ciascun sottointervallo
  • n è il numero di sottointervalli (deve essere pari)
  • xi = a + i·h sono i punti equidistanti
Termine di Errore

La Regola di Simpson ha un termine di errore di O(h5), il che significa che l'errore è proporzionale a h4. In particolare:

\text{Errore} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Dove f(4)(ξ) è la quarta derivata di f in un certo punto ξ tra a e b.

Confronto con Altri Metodi
  • Regola del Punto Medio: L'errore è O(h3), meno accurato della Regola di Simpson
  • Regola del Trapezio: L'errore è O(h3), meno accurato della Regola di Simpson
  • Regola di Simpson 3/8: Accuratezza simile alla Regola di Simpson
  • Quadratura Gaussiana: Più accurata per certe classi di funzioni

Avvertenza: Questo calcolatore fornisce approssimazioni numeriche che possono contenere errori, specialmente per funzioni con singolarità o oscillazioni rapide. Verifica sempre risultati importanti con metodi alternativi o soluzioni analitiche quando possibile.

Cos'è il Calcolatore della Regola di Simpson?

Il Calcolatore della Regola di Simpson è uno strumento interattivo che stima il valore di un integrale definito. Invece di risolvere integrali complessi a mano, questo calcolatore applica un metodo numerico affidabile per approssimare l'area sotto una curva, noto come Regola di Simpson. È particolarmente utile per funzioni che sono difficili o impossibili da integrare analiticamente.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Questo metodo divide l'intervallo in un numero pari di parti e adatta parabole attraverso i punti sul grafico della funzione. Fornisce una maggiore accuratezza rispetto alla regola del trapezio o alla regola del punto medio.

Perché usarlo?

Che tu sia uno studente, un insegnante, un ingegnere o un curioso apprendista, il Calcolatore della Regola di Simpson ti aiuta a:

  • Stimare rapidamente integrali definiti
  • Visualizzare come viene approssimata l'area sotto la curva
  • Comprendere l'impatto della variazione del numero di intervalli
  • Eseguire analisi degli errori e visualizzare il comportamento di convergenza

Completa anche altri strumenti come il Calcolatore di Integrali per risolvere integrali definiti o indefiniti e il Calcolatore di Antiderivate per trovare antiderivate. Se stai lavorando con funzioni multivariabili, dai un'occhiata al Calcolatore di Derivate Parziali per calcolare le parziali o analizzare la differenziazione multivariabile.

Come usare il calcolatore

Segui questi semplici passaggi per ottenere un'approssimazione accurata del tuo integrale definito:

  1. Inserisci la funzione che desideri integrare nella casella di input (usa x come variabile).
  2. Imposta i limiti inferiori e superiori per l'intervallo di integrazione.
  3. Scegli il numero di intervalli (deve essere un numero pari).
  4. Facoltativamente, abilita la visualizzazione della funzione e dell'approssimazione.
  5. Clicca su "Calcola Integrale" per visualizzare il risultato, il grafico e la suddivisione.

Puoi ripristinare il calcolatore in qualsiasi momento utilizzando il pulsante "Ripristina".

Casi d'uso comuni

Usa il Calcolatore della Regola di Simpson per:

  • Approssimare l'area sotto le curve quando l'integrale esatto è difficile da calcolare
  • Confrontare i risultati numerici con soluzioni esatte da un risolutore di integrali
  • Analizzare la convergenza aumentando gli intervalli
  • Acquisire intuizioni sul comportamento degli errori in base al numero di intervalli

È particolarmente utile per controllare il lavoro o integrare i risultati di strumenti come il Calcolatore della Seconda Derivata o il Calcolatore della Derivata Direzionale nell'analisi multivariabile.

Domande frequenti

Q: Che tipo di funzioni posso inserire?
Qualsiasi funzione che utilizza x come variabile. Le espressioni comuni includono polinomi, funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmi. Ad esempio: x^2 + sin(x).

Q: Perché il numero di intervalli deve essere pari?
La Regola di Simpson si basa sull'adattamento di parabole attraverso coppie di intervalli. Un numero dispari di intervalli romperebbe questa coppia.

Q: Quanto è accurato questo metodo?
La Regola di Simpson è altamente accurata per funzioni lisce e migliora con un numero maggiore di intervalli. Il calcolatore mostra anche informazioni sugli errori e sulla convergenza.

Q: E se la mia funzione è indefinita in un certo punto?
Evita funzioni con singolarità o discontinuità all'interno dell'intervallo. Queste possono causare risultati imprecisi o errori di valutazione.

Considerazioni finali

Questo calcolatore è un utile compagno per studiare il calcolo e risolvere problemi reali che coinvolgono l'integrazione. Fa parte di una suite più ampia di strumenti matematici come il Calcolatore di Derivate, il Calcolatore di Derivate Inverse e il Calcolatore di Limiti che semplificano l'apprendimento e l'applicazione di concetti matematici avanzati.